sábado, 23 de septiembre de 2017

ACERTIJO 83 - LOS NÚMEROS BALANCEADOS

Un entero positivo N está balanceado si N = 1 o si N puede ser escrito como el producto de una cantidad par de factores primos (da igual que se repitan), por ejemplo N = 12 = 2·2·3 no estará balanceado pero N = 90 = 2·3·3·5 sí que lo estaría. Si nos dan dos números a y b distintos y escribimos el número P(x) = (x+a)·(x+b), ¿podremos encontrar dos números a y b tal que P(1), P(2), ..., P(50) sean todos balanceados? ¿Por qué?


La solución como siempre algo más abajo.



SOLUCIÓN:


La respuesta es sí y su demostración, aunque no lo parezca, bastante sencilla. Un número cualquiera puede estar balanceado y tener un número par de factores primos (le asignaremos un 0) o no serlo y tener un número impar de factores primos (a este le asignaremos un 1). Supongamos una serie formado por unos y ceros (50 entre ambos), cualquiera. Como mucho existirán 2^50 posibles series distintas (son 50 números y solo podemos escoger entre 0 y 1). Como este es número finito antes o después deberá repetirse la misma serie. 

Al multiplicar dos números balanceados obtenemos otro balanceado y si multiplicamos dos no balanceados también. Así que con dos series iguales multiplicadas entre sí obtendremos 50 números balanceados.

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