miércoles, 14 de marzo de 2018

EL PROBLEMA DE BASILEA. DÍA DEL NÚMERO PI

Hoy es el día 3/14, ¿¡sabéis que significa eso!? ¡Qué hoy es el día internacional del número Pi! Y la comunidad matemática lo estamos celebrando por todo lo alto. 


Seguro que todos habréis oído hablar de la relación del número pi con la circunferencia, "La longitud de la circunferencia es dos pi veces la del radio". Sin embargo, estoy bastante seguro de que la siguiente propiedad de pi no es tan conocida

"La suma infinita de los inversos de los cuadrados de los números naturales es igual a un sexto de pi elevado al cuadrado".

Primero, expliquemos qué es lo que quiere decir el enunciado, en esencia, buscamos el siguiente valor:


Pero, cómo puede ser qué en una identidad, que aparentemente no tiene nada que ver con circunferencias, acabe apareciendo pi. Bien, esta identidad es muy famosa y ha sido muy estudiada por los matemáticos y al encontrar este número su sorpresa fue mayúscula (la relación existente entre estos dos conceptos no es para nada evidente).


Concretamente, el problema que pedía hallar el valor de esa expresión se conoce como el problema de Basilea y fue propuesto por Pietro Mengoli en 1644 y no pudo ser resuelto hasta el año 1735 por el ilustre matemático suizo Euler, ¡casi 100 años! 

La demostración que consiguió Euler no es para nada trivial y se sale de los objetivos del blog. No obstante, esta serie es muy interesante así que daremos otro problema "más fácil" para que el lector se entretenga jugando con estas particulares fracciones (lo resolveré en otra entrada, en un par de semanas):

Prueba que los cuadrados de lado 1, 1/2, 1/3 ... pueden ser colocados todos ellos dentro de otro cuadrado mayor de lado 3/2 sin que ninguno de los "cuadraditos pequeños" compartan algún punto interior (es decir, que no se intersequen).


¡Impresionante!, ¿o me lo vas a negar?, pues todo esto no acaba aquí, sino que esta idea inspiró un siglo después a Riemann para construir la llamada función zeta:

Esta función, para la cual ya hemos calculado su valor en s=2, es muy importante, sobre todo es muy interesante intentar averiguar para que valores de s esta suma se convierte en 0, de hecho es tan importante, que, a aquel que consiga resolverla se le recompensará con un millón de dolares (aunque parece que todavía no tenemos muy buenas técnicas para poder resolverlo...).

Y si crees que no has tenido suficiente, te dejo con un vídeo del canal de YouTube 3 Brown 1 Blue (muy recomendable), en el que se explica, en inglés, una forma de resolver el problema de Basilea de forma intuitiva y "entendible". 

¡Disfruten de lo que queda del Día del Número Pi y vivan las mates!


No te olvides de echarle una ojeada a todos los recursos sobre pi que aparecerán por todas las webs  centradas en matemáticas.

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