domingo, 10 de diciembre de 2017

EL TEOREMA DE JOSEFO

Hoy vamos a hablar sobre un historiador judío del siglo I d.C. Una interesantísima anécdota que nos muestra como las matemáticas tienen utilidades algo inesperadas...

Josefo (historiador judío)

Según cuenta Flavio Josefo, durante la caída de Jotapata (actualmente solo unas ruinas en Israel) en favor de los romanos, él y otros 39 soldados camaradas suyos, acorralados por sus enemigos, no tuvieron más remedio que acabar dentro de una cueva sin más opciones que la rendición al ejército romano o la muerte. Estos prefirieron morir antes que rendirse y acabar como esclavos. El problema era, que en la religión judía el suicidio era considerado tabú así que idearon un sistema para evadirlo.


Los 40 hombres se colocaron en círculo con un cuchillo, el procedimiento era simple, cada soldado mataba al compañero que se encontrase a su derecha y después le pasaba el arma al siguiente (por ejemplo si era el turno de la primera persona, esta mataría a la segunda y le pasaría el cuchillo a la tercera) y así hasta que solo quedase uno que se sacrificaría por el resto y cometería suicidio. Así, según la leyenda, Josefo y su mejor amigo hicieron los cálculos rápidamente para averiguar cuales serían las dos últimas personas vivas, consiguiendo sobrevivir a la matanza y sabiamente entregarse al "enemigo" ofreciéndoles la muerte de los otros 38 soldados rebeldes sin necesidad de que los romanos se mancharan las manos. Según dicen, Josefo y su aliado judío acabaron siendo dos personalidades con gran poder dentro del Imperio, y todo ello, ¡gracias a las matemáticas!


Ahora, te toca a ti.

¿Serías capaz de emular la hazaña de Josefo y decidir cuales son las dos posiciones que permiten la supervivencia? (Tomaremos como la posición 1, la de la primera persona que mata a otra). 

Te recomiendo que te pares con un buen café, un lápiz y una libreta e intentes destripar y disfrutar este problema. Pero, si no te sientes con ganas de comerte los sesos te dejo aquí con la solución desgranada paso a paso. Además, al final de esta entrada vamos a proponer algunas interesantes variantes de este problema.


Primero dispongamos en círculo a nuestros 40 soldados, por ejemplo así (vamos a colorear de verde a los que están vivos, de rojo a los muertos y de azul al que tiene el cuchillo en el momento al que hacemos referencia).
Comienzo
Después de la primera ronda se puede observar con facilidad como van a morir todos los que se encuentran en posición par (un impar mata al siguiente, par, y le pasa el cuchillo al que se encuentra dos posiciones más allá, también impar por tanto, y así hasta dar una vuelta completa).
Tras la primera ronda
Llevamos una ronda y solo quedan los 20 soldados "impares". Como 20 vuelve a ser par podemos volver a usar el truco de antes y en esta ocasión razonando de forma similar matamos a los que ocupan una posición de la forma 4·k+3 (múltiplo de 4 más 3) y nos quedamos con los 10 soldados situados en lugares "4k+1".
Tras la segunda ronda
Mismo truco de nuevo, ahora para "asesinar" a los 8·k+5 (volvemos a tener una cantidad par de soldados).
Tras la tercera ronda
Ahora es cuando viene la parte "difícil", pues ya no nos queda una cantidad par de soldados y no podemos reutilizar el truco al que habíamos recurrido hasta ahora. Sin embargo, como solo son 5 personass podemos hacer las cuentas a mano sin muchos problemas.

S1 mata a S9 y pasa el cuchillo a S17, S17 mata a S25 y pasa el cuchillo a S33, S33 mata a S1 y pasa el cuchillo a S17.
Última ronda
Y como ya te habras dado cuenta, ¡ya hemos acabado!, Josefo y su amigo se quedaron en las posiciones 17 y 33.

Pero, por supuesto, somos matemáticos y esto no acaba aquí, podemos inventarnos todas las variaciones y generalizaciones al problema que seamos capaces de imaginarnos e intentar resolverlas. Si cambiamos el número de soldados o si, en vez de al siguiente, se lo pasas al que está 5 posiciones más allá, y si estudiamos estos dos parámetros de forma general en función de una n y una m, o si fijamos una posición para Josefo y tratamos de determinar un algoritmo con el que no muera... En fin, la creatividad matemática no tiene límites...

También existen algunas variaciones algo famosas de este problema, por ejemplo:


Una versión medieval enuncia:


15 cristianos y a 15 turcos viajan a bordo de un barco en una tormenta que se hundirá a menos que la mitad de los pasajeros sean arrojados por la borda. Los 30 se disponen en un círculo y cada novena persona ha de ser arrojada al mar. ¿Dónde deben los cristianos colocarse para garantizar que sólo los turcos se lanzan? En otras versiones los roles de los turcos y los cristianos están intercambiados.


Otro problema más moderno (en el que no hace falta matar a nadie, solo arruinarlo...) enuncia:


Tenemos varias personas sentadas en círculo y cada una de ellas tiene una moneda. La primera persona pasa una moneda a la segunda, esta dos a la tercera, la tercera una a la cuarta, esta dos al siguiente, de nuevo el quinto una al sexto... y así sucesivamente. Si te quedas sin monedas pierdes el juego y te vas de la mesa. Encuentra infinitos casos en los que solo queda una única persona al final de todo el proceso.

Si te animas a intentar resolver estos dos nuevos retos estaríamos encantados de que compartierais vuestros resultados en los comentarios de esta entrada.

Toda esta historia sobre el matemático Josefo, que acabo de contaros, la escuché por primera vez en una de esas mágicas clases que pude disfrutar gracias a una asociación llamada EsTalMat. Quizás fue por esos maravillosos profesores que tuve en ese entonces que hoy esté compartiendo este blog y organizando este festival carnavalesco con un sabor matemático. Así, quería aprovechar la oportunidad (con el permiso de todos) para reivindicar lo que merecen estos profesores y este grupo (desconocido para la gran mayoría de la población), más dinero y apoyo por parte de las instituciones públicas, que poco a poco, aprovechándose del pretexto de la crisis financiera han ido recortando los medios destinados (y bien merecidos) a estas fundaciones tan desconocidas pero tan importantes a la vez.

Esta entrada participa en la edición 8.6 del Carnaval Matemático, cuyo anfitrión es, en esta ocasión, Matemático Soriano.

Bibliografía:
_ Sesión 3 EsTalMat Burgos Nivel 3/4 del curso 2014/2015.
_ Sesión de problemas de Dmitry Yakubovich y Glenier Bello (UAM), Hoja 3, Problema 2.
_ El Problema de Flavio Josefo del blog ¡Mates, Mates!
_ Flavio Josefo, wikipedia.org.

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