lunes, 12 de febrero de 2018

TODO NÚMERO ES SUMA DE TRES CAPICÚAS (J. CILERUELO Y F. LUCA)

Todo entero positivo puede ser expresado como suma de tres capicúas.

Esta frase, tan sencilla, tan corta, simplemente me maravilla, puesto que, he de confesarme, la Teoría de Números es una de las ramas de las matemáticas que más me atraen, pues te abstraen, te hacen bailar junto al ritmo de los números, aparentemente caótico en un primer acercamiento, pero que, a la que poco a poco te vas adentrando en las profundidades de esta disciplina, adquiere orden, rigidez, armonía y... belleza.

Números primos y palíndromos

Este enunciado no es solo bello sino que además es cierto, la única enorme pega que tiene es que uno de sus dos descubridores, Javier Cilleruelo (lo logró con la colaboración de Florian Luca), quien fue Profesor Titular del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) nos dejó de forma prematura el pasado 15 de mayo del 2016 a los 54 años de edad por culpa de un tumor.

Javier Cilleruelo

Este fue uno de sus últimos trabajos y el mejor homenaje que se me ocurre que podemos hacer desde este blog matemático es ayudar a la difusión de este Gran Teorema.

En Teoría de Números, un problema muy interesante que lleva ya rondando varios siglos consiste en expresar todo número entero positivo como suma de varios elementos de una sucesión notable de enteros, como pueden ser cuadrados, cubos, primos, capicúas, etc. Por ejemplo:


Y desde hace dos años:

Teorema (J. Cilleruelo, F. Luca 2016): Todo entero positivo es suma de tres capicúas en cualquier base g>=5.

Este problema que resolvieron los profesores Cilleruelo y Luca llevaba ya varios años rondando por la comunidad matemática. El mayor acercamiento que se había logrado hacer hasta él fue en 2015, cuando W. Banks, consiguió probar que todo entero positivo es suma de 49 números capicúas. 

Todos los antecedentes históricos nombrados, evidentemente añaden incluso más valor al resultado obtenido por estos dos investigadores, y por si fuera poco su demostración es constructiva, esto quiere decir que para todo número x se nos da un método, un algoritmo, que nos permite deducir tres números capicúas cuya suma sea x. Gracias a eso, Lewis Baxter ha podido programar una página web que descompone un número entero positivo cualquiera en una base mayor o igual que 5 en suma de tres números capicúas. Así que ya sabes, si sientes curiosidad sobre como se puede expresar tu número favorito como suma de tres capicúas te invito a que sigas este enlace.


Por ejemplo, probemos con uno de mis números predilectos, 1618033988749, las primeras 13 cifras del número áureo:



El resultado que se obtiene es impresionante (poder expresar todo número como suma de únicamente tres capicúas), pero puede que, de todo este rollo que acabamos de soltar quizás haya partes que suenen un poco raras, como por ejemplo eso de cualquier base mayor o igual que 5. ¿Qué es una base? La mejor forma de explicar este concepto es poniendo ejemplos que seguro que te suenan. Puede que no la hayas escuchado nunca pero es un concepto que te aseguro que usas a diario, en concreto la que recibe el nombre base decimal (base 10).

Por ejemplo: 161803 en base 10 tiene esa misma representación y alude a:

161803 = 1·10^5 + 6·10^4 + 1·10^3 + 8·10^2 + 0·10^1 + 3·10^0

Otra base también bastante conocida es la binaria (base 2), "el lenguaje de los ordenadores", en ella representamos todos los números con las cifras 1 y 0. Así por ejemplo el número 11001 en base 2 sería el 25 en nuestra base decimal, pues:

11001 = 1·2^4 +1·2^3 + 0·2^2 + 0·2^1 + 1·2^0 = 16 + 8 +1 = 25

Y este concepto puedes desplazarlo a cualquier base n (aquí te hemos puesto los ejemplos n=2 y n=10).

Hay un libro, "Apín capón zapún amanicano", recomendado sobre todo para estudiantes de 1º o 2º de Secundaria que juega con este concepto, nos hace ver que en unos inicios se recurrió solo a una mano para contar (en vez de a dos, como fue nuestro caso) dando como lugar a una base de numeración en base 5 donde solo existen las cifras 0, 1, 2, 3 y 4 y se anima al lector a reflexionar sobre este concepto de base.


La demostración, como ya hemos dicho es constructiva, lo cual implica que la demostración se sustenta en un algoritmo, que según palabras del autor: "Es complejo pero elemental, en el sentido que no se utilizan matemáticas profundas." Sin embargo, en esta entrada no explicaremos en que consiste, para los más curiosos dejamos un enlace al artículo integro que publicaron Javier Cilleruelo y Florián Luca, un paper que se alarga hasta las 39 páginas explicando con todo detalle el teorema. Además recuerda que, algo más arriba, hemos dejado un enlace a una página web que te da tres palíndromos que suman el número que tú quieras.



En memoria de Javier Cilleruelo (1961-2016)

Quería también dar las gracias a mi profesor Enrique González Jiménez (ICMAT-UAM) por animarme a escribir sobre este teorema y por proporcionarme toda la información y los datos necesarios para hacerlo.

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